Outil pour calculer les valeurs de la fonction Lambda Λ de von Mangoldt. La fonction Λ de Mangoldt est une fonction arithmétique avec des propriétés liées aux nombres premiers.
Fonction de Von Mangoldt - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
dCode est gratuit et ses outils sont une aide précieuse dans les jeux, les maths, les énigmes, les géocaches, et les problèmes à résoudre au quotidien !
Une suggestion ? un problème ? une idée ? Écrire à dCode !
Fonction de Von Mangoldt
Calculatrice de Lambda Λ(n)
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que la fonction Lambda de Von Mangoldt ? (Définition)
La fonction $ \Lambda (n) $ (appelée fonction Lambda de Mangoldt) est définie par : $$ \Lambda (n)= {\begin{cases}\ln(p) & {\mbox{si }}n=p^{k} \\ 0 & {\mbox{sinon}} \end{cases} } $$
avec $ p $ un nombre premier et $ k \in \mathbb{N}, k \geq 1 $ (un entier naturel positif non nul).
Il s'agit du logarithme naturel $ \log(n) = \ln( n ) $
Quelles sont les premières valeurs de la fonction Lambda ?
Les valeurs de $ \Lambda (n) $ pour les premières valeurs de $ n $ sont :
| n | Λ(n) |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | $ \ln 2 $ |
| 3 | $ \ln 3 $ |
| 4 | $ \ln 2 $ |
| 5 | $ \ln 5 $ |
| 6 | $ 0 $ |
| 7 | $ \ln 7 $ |
| 8 | $ \ln 2 $ |
| 9 | $ \ln 3 $ |
Il est possible de calculer les valeurs de $ \exp{\Lambda}(n) $ afin d'obtenir toujours des nombres entiers, voir la suite OEIS ici
Quelles sont les propriétés de la fonction Lambda de Von Mangoldt ?
De part sa définition, la fonction Lambda de Von Mangoldt $ \Lambda (n) $ permet de décrire la valeur du logarithme népérien $ \ln n $ : $$ \ln n=\sum _{d\mid n}\Lambda (d) $$ avec $ d $ un entier naturel qui divise $ n $.
Exemple : $$ \begin{align}\sum_{d \mid 8} \Lambda(d) &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(4) + \Lambda(8) \\ &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda (2^2) + \Lambda(2^3) \\ &= 0 + \ln(2) + \ln(2) + \ln(2) \\ &=\ln (2 \times 2 \times 2) \\ &= \ln(8) \end{align} $$
Quel est le lien avec la Constante gamma d'Euler-Mascheroni ?
La fonction Lambda de Hans Von Mangoldt permet de calculer $ \gamma $ la Constante d'Euler-Mascheroni via la formule : $$ \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{\Lambda(n)-1}{n}}=-2\gamma $$
Code source
dCode se réserve la propriété du code source pour "Fonction de Von Mangoldt". Tout algorithme pour "Fonction de Von Mangoldt", applet ou snippet ou script (convertisseur, solveur, chiffrement / déchiffrement, encodage / décodage, encryptage / décryptage, traducteur) ou toutes fonctions liées à "Fonction de Von Mangoldt" (calculer, convertir, résoudre, décrypter / encrypter, déchiffrer / chiffrer, décoder / encoder, traduire) codés en langage informatique (Python, Java, C#, PHP, Javascript, Matlab, etc.) ou toute base de données, ou accès API à "Fonction de Von Mangoldt" ou tout autre élément ne sont pas publics (sauf licence open source explicite type Creative Commons). Idem avec le téléchargement pour un usage hors ligne sur PC, mobile, tablette, appli iPhone ou Android.
Rappel : dCode est une ressource éducative et pédagogique, accessible en ligne gratuitement et pour tous.
Citation
Le contenu de la page "Fonction de Von Mangoldt" ainsi que ses résultats peuvent être copiés et réutilisés librement, y compris à des fins commerciales, à condition de mentionner dCode.fr comme source.
L'export des résultats est gratuit et se fait simplement en cliquant sur les icônes d'export ⤓ (format .csv ou .txt) ou ⧉ copier-coller.
Pour citer dCode.fr sur un autre site Internet, utiliser le lien :
Dans un article scientifique ou un livre, la citation bibliographique recommandée est : Fonction de Von Mangoldt sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 17/04/2025,
