Outil pour calculer les valeurs de la fonction Lambda Λ de von Mangoldt. La fonction Λ de Mangoldt est une fonction arithmétique avec des propriétés liées aux nombres premiers.
Fonction de Von Mangoldt - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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Fonction de Von Mangoldt
Calculatrice de Lambda Λ(n)
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que la fonction Lambda de Von Mangoldt ? (Définition)
La fonction $ \Lambda (n) $ (appelée fonction Lambda de Mangoldt) est définie par : $$ \Lambda (n)= {\begin{cases}\ln(p) & {\mbox{si }}n=p^{k} \\ 0 & {\mbox{sinon}} \end{cases} } $$
avec $ p $ un nombre premier et $ k \in \mathbb{N}, k \geq 1 $ (un entier naturel positif non nul).
Il s'agit du logarithme naturel $ \log(n) = \ln( n ) $
Quelles sont les premières valeurs de la fonction Lambda ?
Les valeurs de $ \Lambda (n) $ pour les premières valeurs de $ n $ sont :
| n | Λ(n) |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | $ \ln 2 $ |
| 3 | $ \ln 3 $ |
| 4 | $ \ln 2 $ |
| 5 | $ \ln 5 $ |
| 6 | $ 0 $ |
| 7 | $ \ln 7 $ |
| 8 | $ \ln 2 $ |
| 9 | $ \ln 3 $ |
Il est possible de calculer les valeurs de $ \exp{\Lambda}(n) $ afin d'obtenir toujours des nombres entiers, voir la suite OEIS ici
Quelles sont les propriétés de la fonction Lambda de Von Mangoldt ?
De part sa définition, la fonction Lambda de Von Mangoldt $ \Lambda (n) $ permet de décrire la valeur du logarithme népérien $ \ln n $ : $$ \ln n=\sum _{d\mid n}\Lambda (d) $$ avec $ d $ un entier naturel qui divise $ n $.
Exemple : $$ \begin{align}\sum_{d \mid 8} \Lambda(d) &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(4) + \Lambda(8) \\ &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda (2^2) + \Lambda(2^3) \\ &= 0 + \ln(2) + \ln(2) + \ln(2) \\ &=\ln (2 \times 2 \times 2) \\ &= \ln(8) \end{align} $$
Quel est le lien avec la Constante gamma d'Euler-Mascheroni ?
La fonction Lambda de Hans Von Mangoldt permet de calculer $ \gamma $ la Constante d'Euler-Mascheroni via la formule : $$ \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{\Lambda(n)-1}{n}}=-2\gamma $$
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Citer comme source bibliographique :
Fonction de Von Mangoldt sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 22/12/2024,
