Outil pour calculer une matrice de changement de base (de passage) selon une homothétie ou une rotation dans un espace vectoriel et calculs de changement de coordonnées.
Matrice de Passage - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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Matrice de Passage
Calculateur d'Equations de Changement de Base
Calcul de Matrice de Rotation
Calcul de Matrice d'homothétie
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une matrice de passage ? (Définition)
La matrice de passage est la matrice permettant un calcul de changement de coordonnées selon une homothétie ou une rotation dans un espace vectoriel.
Comment calculer les équations de changement de base ?
A partir d'une matrice de passage $ P $ (aussi appelée matrice de changement de base), tout vecteur $ v $ devient alors le vecteur $ v' $ dans la nouvelle base par le calcul (produit scalaire/matriciel) $$ v' = P.v $$
Exemple : $ \begin{bmatrix} v_1' \\ v_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} $
Comment calculer une matrice de rotation ?
A partir d'un angle de rotation $ \alpha $ (sens trigonométrique) et d'un axe, la matrice de rotation s'écrit sous la forme (rotation autour de l'axe $ z $) $$ \begin {bmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ \end{bmatrix} $$
A partir de 2 vecteurs (celui d'origine et celui de destination), il est possible de générer un système d'équation à résoudre pour retrouver les valeurs de $ \alpha $ et du ou des axes.
Comment calculer une matrice d'homothétie ?
A partir de la valeur du facteur d'homothétie $ k $ (homothétie supposée uniforme dans tout l'espace vectoriel de taille $ n $), la matrice de passage est donnée par la formule $ k.I_n $ (avec $ I_n $ la matrice identité).
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