Outil pour calculer les valeurs des nombres harmoniques, c'est-à-dire les valeurs des nième sommes partielles de la série harmonique ainsi que leur inverse. 1+1/2+1/3+…+1/n
Nombre Harmonique - dCode
Catégorie(s) : Séries
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Nombre Harmonique
Calcul du Nième Nombre Harmonique
Valeur Harmonique Réciproque
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un nombre harmonique ? (Définition)
Les nombres harmoniques sont des nombres réels présents dans la série harmonique $ H_n $ (qui utilise la somme des inverses des entiers naturels non nuls).
Comment calculer les nombres harmoniques ?
Appliquer la formule harmonique : $$ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} $$
Exemple : $ H_2 = 1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 $
La formule de récurrence suivante peut aussi être appliquée pour obtenir une série:
$$ H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n} $$
Lorsque $ n $ est très grand, une approximation basée sur le logarithme népérien peut être utile pour accélérer les calculs :
$$ \lim_{n \to \infty} H_n = \ln n + \gamma $$
avec $ \gamma \approx 0.577215665 $ la constante d'Euler–Mascheroni.
Il existe également une formule basée sur un calcul d'intégrale : $$ H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx $$
Quelles sont les premières valeurs de la Série Harmonique ?
Les premiers nombres harmoniques sont :
| n | H(n) | ≈H(n) |
|---|---|---|
| 1er nombre harmonique | 1/1 | 1 |
| 2ème nombre hamonique | 3/2 | 1.5 |
| 3ème nombre hamonique | 11/6 | 1.83333 |
| 4ème nombre hamonique | 25/12 | 2.08333 |
| 5ème nombre hamonique | 137/60 | 2.28333 |
| 6ème nombre hamonique | 49/20 | 2.45 |
| 7ème nombre hamonique | 363/140 | 2.59286 |
| 8ème nombre hamonique | 761/280 | 2.71786 |
| 9ème nombre hamonique | 7129/2520 | 2.82896 |
| 10ème nombre hamonique | 2.92897 | |
| 100ème nombre hamonique | 5.18738 | |
| 1000ème nombre hamonique | 7.48547 | |
| 10000ème nombre hamonique | 9.78761 | |
| 100000ème nombre hamonique | 12.09015 | |
| 1000000ème nombre hamonique | 14.39272 | |
| 10000000ème nombre hamonique | 16.69531 | |
| 100000000ème nombre hamonique | 18.99790 | |
| 1000000000ème nombre hamonique | 21.30048 |
La Série Harmonique est-elle convergente ?
Non, la série harmonique est un exemple de série divergente, la somme des termes de la série n'a pas de limite finie et tend vers l'infini.
Quelle est la relation entre les nombres harmoniques et la fonction Zêta de Riemann ?
La série Harmonique avec $ n \to \infty $ est un cas particulier de la fonction Zêta de Riemann ζ(s), lorsque $ s = 1 $.
Comment implémenter la série harmonique ?
L'algorithme pour calculer les nombres harmoniques peut utiliser une boucle de sommation : // Pseudo-code
function harmonicNumber(N) {
harmonic = 0
for (i = 1; i <= N; i++) {
harmonic = harmonic + 1 / i
}
return harmonic
}
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