Puissance de Matrice

Question 1

Qu'est-ce qu'une puissance de matrice ? (Définition)

Answer

L'exponentiation de matrice $ M $ à la puissance $ n $ ($ n \neq 0 $) s'écrit $ M^n $ ($ M $ exposant $ n $) est se définit comme le produit matriciel (la multiplication) de $ M $ par lui-même $ n $ fois.

$$ M^n = \underbrace{M \cdot M \cdot \ldots \cdot M}_{n} $$

Question 2

Comment calculer une matrice puissance n ?

Answer

En prenant $ M $ une matrice carré de taille $ m $ ($ m $ lignes et $ m $ colonnes).

Exemple : Puissance de matrice 2x2 élevée au carré $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} ^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix} $$

La taille de la matrice résultante est identique à la matrice M originale; i.e. $ m $ lignes et $ m $ colonnes.

Le calcul d'exponentiation de matrice ne fonctionne que pour des matrices carrées (2x2, 3x3, 4x4, 5x5, etc. dû aux contraintes issues du produit matriciel) et est utilisé pour certaines matrices comme les matrices stochastiques.

Question 3

Pourquoi diagonaliser une matrice avant d'en calculer la puissance ?

Answer

Si la matrice est diagonalisable, alors sa diagonalisation permet de simplifier grandement les calculs de puissance car ils s'appliquent principalement sur la diagonale de la matrice.

Question 4

Comment calculer une puissance négative de matrice ?

Answer

Le calcul de $ M^{-n} $ est équivalent à $ M^{-1 \times n} $. Calculer l'inverse de la matrice puis de réaliser une exponentiation à la puissance $ n $ de celle ci.

Exemple : $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} ^{-2} = \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} ^{-1} \right)^2 $$

Question 5

Comment calculer une racine de matrice ?

Answer

Le calcul de $ M^{1/n} $ est équivalent à la racine $ n $-ième.

Question 6

Comment calculer une puissance non entière de matrice ?

Answer

L'élévation à une puissance $ n $ (avec $ n $ un nombre réel non nul) d'une matrice carré inversible $ M $ peut être définie par $ M^n = \exp(n \log{M}) $ et donc la puissance de la matrice peut être calculée avec un nombre décimal comme exposant. Dans ce cas, le logarithme d'une matrice est défini avec les vecteurs propres $ V $ de $ M $ tels que $ \log{M} = V . \log{ V^{-1} . A . V } . V^{-1} $ et l'exponentiel d'une matrice peut se calculer à l'aide d'une série entière $ e^M = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} M^k $.

Puissance de Matrice