Puissance de Matrice

L'exponentiation de matrice $ M $ à la puissance $ n $ ($ n \neq 0 $) s'écrit $ M^n $ ($ M $ exposant $ n $) est se définit comme le produit matriciel (la multiplication) de $ M $ par lui-même $ n $ fois.

$$ M^n = \underbrace{M \cdot M \cdot \ldots \cdot M}_{n} $$

En prenant $ M $ une matrice carré de taille $ m $ ($ m $ lignes et $ m $ colonnes).

La taille de la matrice résultante est identique à la matrice M originale; i.e. $ m $ lignes et $ m $ colonnes.

Si la matrice est diagonalisable, alors sa diagonalisation permet de simplifier grandement les calculs de puissance car ils s'appliquent principalement sur la diagonale de la matrice.

Le calcul de $ M^{-n} $ est équivalent à $ M^{-1 \times n} $. Calculer l'inverse de la matrice puis de réaliser une exponentiation à la puissance $ n $ de celle ci.

Le calcul de $ M^{1/n} $ est équivalent à la racine $ n $-ième.

L'élévation à une puissance $ n $ (avec $ n $ un nombre réel non nul) d'une matrice carré inversible $ M $ peut être définie par $ M^n = \exp(n \log{M}) $ et donc la puissance de la matrice peut être calculée avec un nombre décimal comme exposant. Dans ce cas, le logarithme d'une matrice est défini avec les vecteurs propres $ V $ de $ M $ tels que $ \log{M} = V . \log{ V^{-1} . A . V } . V^{-1} $ et l'exponentiel d'une matrice peut se calculer à l'aide d'une série entière $ e^M = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} M^k $.