Outil pour calculer le rang d'une permutation d'un ensemble. Le rang d'une permutation est le numéro associé à celle-ci dans l'ordre de génération des permutations.
Rang d'une Permutation - dCode
Catégorie(s) : Combinatoire
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Rang d'une Permutation
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Qu'est ce que le rang d'une permutation ? (Définition)
Le rang d'une permutation est un entier qui représente la position d'une permutation spécifique dans l'ordre lexicographique de toutes les permutations possibles d'un ensemble d'éléments distincts.
A partir de la liste de toutes les permutations possibles d'un ensemble (ou arrangements), il est possible de trier cet index par ordre croissant. Le rang d'une permutation est la position de celle-ci dans la liste triée.
Exemple : L'ensemble A,B,C a pour permutations :
| 0 | ABC |
| 1 | ACB |
| 2 | BAC |
| 3 | BCA |
| 4 | CAB |
| 5 | CBA |
Comment calculer le rang d'une permutation ?
Comme il semble difficile de lister toutes les permutations lorsqu'il y a beaucoup d'éléments. Il existe une méthode mathématique pour réaliser ce calcul.
Soit une permutation $ P $ dans l'ensemble $ E $ de taille $ t $.
Exemple : La permutation B,A,C dans l'ensemble initial A,B,C de taille $ t = 3 $.
Pour chaque lettre, calculer la position $ p $ dans l'ensemble $ E $, calculer $ s = p \times (t-1)! $ et retirer la lettre dans l'ensemble $ E $ (la taille $ t $ diminue). La somme des $ s $ est le rang de la permutation.
Exemple : B est en position $ 1 $ dans ABC, $ s_B = 1 \times 2! = 2 $
A est en position $ 0 $ dans AC, $ s_A = 0 \times 1! = 0 $
C est en position $ 0 $ dans C, $ s_C = 0 \times 0! = 0 $
BAC est la permutation de rang $ s_B + s_A + s_C = 2 + 0 + 0 = 2 $
Quel est l'algorithme de calcul du rang d'une permutation ?
Un code source qui calcule le rang dune permutation alphabétique serait : // Pseudo-code
function rankPermutation(p) {
alphabet = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"
length = length(p)
rank = 0
j = 0
for i = length-1 down to 0 {
letter = p[j++]
index = position(letter, alphabet)
alphabet = alphabet[0..index] + alphabet[index+1..]
rank += index * factorial(i);
}
return rank;
}
Exemple : QWERTYUIOPASDFGHJKLZXCVBNM a pour rang lexicographique 261329910883437428257896643
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