Variance Statistique

La variance est une mesure de la dispersion d'une liste de valeur autour de sa moyenne. Cette valeur, notée $ V $ ou $ \mathbb{V} $ ou $ \mathrm{Var} $ ou $ \sigma^2 $ ou $ s^2 $ caractérise la manière dont les données $ X $ (variable aléatoire) sont dispersées en mesurant les écarts entre chaque valeur (de la variable) et la moyenne (ou espérance $ \mathbb{E} $).

$$ V(X) = \mathbb{E} \left[(X - \mathbb{E}[X])^{2}\right] $$

ou encore

$$ V(X) = \mathbb{E} \left[X^{2}\right]-\mathbb{E}[X]^{2} $$

Une liste de nombres $ x_i $ ayant une variable aléatoire discrete $ X $ dont la moyenne est $ m $ et dont la distribution n'est pas connue, a pour variance $ V $ selon la formule de calcul est $$ V(X)= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-m)^2 $$

Lorsque la liste de nombres est issue d'un échantillon, la variance calculée ne correspondra généralement pas à la variance réelle qui aurait été calculée à partir de la population complète.

En effet, la moyenne utilisée est calculée à partir de l'échantillon (et non de la population complète, donc c'est une estimation empirique avec une précision limitée). La variance ainsi calculée est un estimateur biaisé qui sous-estime la variance d'un facteur de $ (n-1) $.

Une manière de diminuer le biais introduit par cette estimation est de ne plus diviser par $ n $ mais par $ n-1 $. Cette méthode s'appelle aussi correction de Bessel.

Une méthode alternative est de diviser par $ n+1 $ pour minimiser l'erreur quadratique moyenne pour la distribution normale. L'estimateur reste biaisé dans ce cas.

Lorsque la moyenne réelle de la population dont est issue la liste de nombres n'est pas connue, alors la moyenne est estimée à partir de la liste des nombres (et peut donc être légèrement inexacte).

La variance de l'échantillon est calculée comme une moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne (de l'échantillon) $ V(X)= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-m)^2 $

L'espérance est alors biaisée $$ \mathbb{E}(V(X))= \frac{n-1}{n}\sigma^{2} $$ par un facteur $ \frac{n-1}{n} $ qu'il est possible de supprimer en multipliant la formule par $ \frac{n}{n-1} $ ce qui revient à diviser par $ n-1 $ dans la formule $ V(X)= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-m)^2 $

La valeur de la variance est le carré de l'écart type. En connaissant la valeur de l'écart type $ \sigma $, $ V $ peut être trouvé via la calculatrice avec la relation : $$ V(X) = \sigma^{2}(X) $$