Argument de Nombre Complexe

L'argument est un angle $ \theta $ qualifiant le nombre complexe $ z $ dans le plan complexe est noté arg ou Arg se calcule par la formule :

$$ \arg(z) = 2\arctan \left( \frac{\Im(z)}{\Re(z) + |z|} \right) = \theta \mod 2\pi $$

avec $ \Re(z) $ la partie réelle, $ \Im(z) $ la partie imaginaire et $ |z| $ le module du nombre complexe $ z $.

Pour déterminer l'argument d'un nombre complexe $ z $, appliquer la formule pour trouver $ \arg(z) $.

En électricité, l'argument est équivalent à la phase (et le module est la valeur efficace).

Soient $ z $, $ z_1 $ et $ z_2 $ des nombres complexes non nuls et $ n $ est un nombre entier naturel. Les propriétés remarquables de la fonction argument sont :

$ \arg( z_1 \times z_2 ) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \mod 2\pi $

$ \arg( z^n ) \equiv n \times \arg(z) \mod 2\pi $

$ \arg( \frac{1}{z} ) \equiv -\arg(z) \mod 2\pi $

$ \arg( \frac{z_1}{z_2} ) \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \mod 2\pi $

Soient $ a $ un réel strictement positif et $ b $ un réel strictement négatif, alors

$ \arg(a \cdot z) \equiv \arg(z) \mod 2\pi $

$ \arg(b \cdot z) \equiv \arg(z) +\pi \mod 2\pi $

Certains arguments sont triviaux (argument de 1, argument de -1, argument de i, argument de -i, etc.) et peuvent être mémorisés :

— $ \arg( 1 ) = 0 $

— $ \arg( 2 ) = 0 $

— $ \arg( n ) = 0 $ (avec $ n $ un nombre réel positif)

— $ \arg( -1 ) = \pi $

— $ \arg( -2 ) = \pi $

— $ \arg( -n ) = \pi $ (avec $ n $ un nombre réel positif non nul)

— $ \arg( i ) = \pi / 2 $

— $ \arg( - i ) = - \pi / 2 $

— $ \arg( 1+i ) = \pi / 4 $

— $ \arg( 1-i ) = - \pi / 4 $

— $ \arg( -1+i ) = 3 \pi / 4 $

— $ \arg( -1-i ) = - 3 \pi / 4 $

L'argument de $ 0 $ vaut $ 0 $ (le nombre 0 a une partie réelle et complexe nulle et donc un argument nul).

Si l'argument d'un nombre complexe est $ \arg(z) = 0 $ alors le nombre n'a pas de partie imaginaire (c'est un nombre réel).

L'argument est un angle, généralement en radian. Les angles se répètent tous les $ 2 \pi $ donc il y en a une infinité.

L'argument principal est généralement celui qui est compris entre $ -\pi $ et $ \pi $ (mais certains considèrent celui entre $ 0 $ et $ 2 \pi $)

Pour calculer l'argument principal à partir d'un argument non principal lui ajouter ou retirer $ 2 \pi $ autant de fois que nécessaire (calcul modulo $ 2 \pi $)