Asymptote d'une Fonction

Une asymptote est une droite (ou parfois une courbe) qui tend (similairement à une tangente) vers la fonction à l'infini.

Une fonction $ f(x) $ a une asymptote horizontale $ y = a $ si

$$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=a $$ et/ou $$ \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)=a $$

Pour trouver une asymptote horizontale, le calcul de cette limite est une condition suffisante.

Une fonction $ f(x) $ a une asymptote verticale $ x = a $ si elle admet une limite infinie en $ a $ ($ f $ tend vers l'infini).

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm a} f(x)=\pm \infty $$

Pour trouver une asymptote horizontale, le calcul de cette limite est une condition suffisante.

Généralement, la fonction n'est pas définie en $ a $, une analyse du domaine de la fonction est nécessaire pour trouver des asymptotes potentielles.

Pour une fonction rationnelle (avec une fraction numérateur sur dénominateur), les valeurs pour lesquelles le dénominateur s'annule sont des asymptotes.

Une fonction $ f(x) $ a une asymptote oblique $ g(x)=ax+b $ lorsque

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x)-g(x)= 0 \right) $$

Le calcul d'asymptote oblique parfois peut être simplifié en cherchant cette limite :

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \right) $$

Pour une fonction rationnelle appliquer une division polynomiale permet de trouver une asymptote oblique.

Une fonction $ f(x) $ a une asymptote non linéaire $ g(x) $ lorsque

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x)-g(x)= 0 \right) $$