Outil pour réaliser la complétion du carré. La complétion du carré est une méthode de calcul qui permet de factoriser un polynome de degré 2 pour en trouver une forme factorisée au carré.
Complétion d'un Carré - dCode
Catégorie(s) : Calcul Formel
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Complétion d'un Carré
Résoudre la complétion d'un carré
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'une complétion du carré ? (Définition)
La complétion du carré est le nom donné à une méthode de factorisation des polynomes du second degré. La factorisation tient son nom du fait que la forme équivalente factorisée obtenue possède la variable dans une expression au carré.
Comment réaliser une complétion du carré ?
Pour compléter le carré et trouver les facteurs, il existe la technique de dépression de polynome :
Un polynome du second degré $ x^2 +bx + c = 0 $, peut être modifié en ajoutant $ (b/2)^2 - c - (b/2)^2 + c (= 0) $ ce qui permet de factoriser en $$ (x +(b/2))^2 - (b/2)^2 + c $$
Exemple : Soit $ p(x)=2x^2+12x+14 $, pour faire une complétion à la main, factoriser par le coefficient de $ x^2 $ (ici $ 2 $) : $ p(x)=2(x^2+6x+7) $ et continuer avec le polynome $ q(x) = x^2+6x+7 $
Exemple : Repérer le coefficient de $ x $, ici $ 6 $ et diviser le par $ 2 $, pour obtenir $ β=6/2=3 $ et utiliser $ β $ pour écrire $$ q(x) = x^2 + 6x + 7 = (x+β)^2 − β^2 + 7 = (x+3)^2 − 2 $$
Exemple : Revenir à $ p(x) = 2q(x) $ pour obtenir le carré complété : $$ p(x) = 2x^2 + 12x + 14 = 2 ( (x+3)^2 − 2 ) = 2 (x+3)^2 − 4 $$
Avec la forme factorisée, il devient évident de trouver les racines.
$$ p(x) = 0 \iff 2(x+3)^2−6 = 0 \iff (x+3)^2 = 3 \\ \iff x+3 = \pm \sqrt{3} \iff x = \pm \sqrt{3} - 3 $$
dCode peut également généraliser cette approche aux polynomes d'ordre $ n > 2 $ par suppression du terme de degré $ n-1 $.
Pourquoi utiliser la complétion d'un carré ?
La complétion d'un carré est utilisée pour simplifier des expressions polynomiales quadratiques par factorisation. Cette factorisation permet trouver les racines du polynôme et donc de résoudre des équations plus facilement.
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