Forme Canonique d'un Polynome de Degré 2

La forme canonique d'un polynôme de degré 2 (forme quadratique réduite), est une représentation simplifiée de ce polynôme obtenue en complétant le carré du polynôme original (complétion du carré).

Un polynôme de degré $ 2 $ de type $ p(x)=ax^2+bx+c $ (avec $ a $ non nul) peut s'écrire sous forme canonique $ p(x)=a(x−\alpha)^2+\beta $ avec $ \alpha $ et $ \beta $ réels (le coefficient $ a $ est le même que dans la première équation).

Pour trouver la forme canonique d'un polynôme de degré 2 de type $ p(x) = ax^2 + bx + c $ utiliser la formule :

$$ p(x) = a \left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 \right) + \left( \frac{-b^2}{4a} + c \right) $$

Remarque : le polynôme est bien au format $ p(x) = a(x−\alpha)^2 + \beta $ avec $ \alpha = \frac{-b}{2a} $ et $ \beta = c-\frac{b^2}{4a} $

Le principe est de factoriser le coefficient de second degré pour retirer le coefficient de premier degré.

La calculatrice de forme canonique de dCode utilise plusieurs méthodes pour trouver la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré dont la complétion du carré ou la transformation de Tschirnhaus (tous les 2 à base de factorisation d'expression mathématiques).

La forme canonique permet de déterminer les coordonnées de l'extremum de la fonction polynomiale $ p(x) = ax^2 + bx + c = a(x−\alpha)^2 + \beta $. En effet, $ \beta $ est un extremum atteint lorsque $ x = \alpha $. L'extremum a pour coordonnées $ ( \alpha, \beta ) $ soit $ \left( \frac{-b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a} \right) $

Elle permet également de déterminer plus facilement les propriétés du polynôme, telles que le sommet de la parabole associée, l'axe de symétrie, et les valeurs maximales ou minimales.

Il est possible de généraliser l'approche aux degrés $ n $ (supérieurs à $ 2 $) par suppression du terme de degré $ n-1 $ en trouvant les facteurs appropriés.

La méthode de Tschirnhaus consiste à effectuer un changement de variable pour éliminer le terme linéaire dans le polynôme. Cela simplifie ensuite le processus de complétion du carré et conduit à la forme canonique.

Pour un polynome $$ p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 $$ la transformation de Tschirnhaus consiste à l'écrire sous la forme $$ p(x) = k x^n + c $$

Le résultat est appelé polynome déprimé et la technique est la dépression de polynome.