Outil pour trouver la période d'une fraction ou d'un nombre décimal. La période est un ensemble de chiffres qui se répète à l'infini dans les décimales du nombre (généralement un nombre rationnel ou une une fraction périodique).
Fraction Périodique - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'un développement décimal périodique ? (Définition)
Le développement décimal périodique d'un nombre rationnel ou d'une fraction (numérateur sur dénominateur) est la suite de chiffres qui se répète à l'infini dans l'écriture décimales du nombre.
Exemple : 1/3 = 0.3333333333… Le chiffre 3 se répète à l'infini
Exemple : 1/27 = 0.037037037037037… Les chiffres 037 se répètent à l'infini
Toutes les fractions n'ont pas un développement périodique, certaines ont un développement décimal fini.
Qu'est ce qu'un développement décimal fini ? (Définition)
Un développement décimal fini indique qu'aucune suite de chiffre ne se répète à l'infini dans l'écriture décimales du nombre.
Exemple : 4/25 = 0.16 le développement est fini et ne continue pas
Tout nombre qui s'écrit sous forme décimale avec un nombre fini de chiffre après la virgule a un développement décimal fini.
Comment écrire un développement décimal périodique ?
Plusieurs notations sont possibles.
La première utilise des … points de suspension, mais ne permet pas de définir la partie qui se répète. Elle est pratique mais non rigoureuse et donc déconseillée.
Exemple : $ 37/300 = 0.12333333333\dots $
Notation avec une barre au dessus de la partie répétée.
Exemple : $ 37/300 = 0.12\overline{3} $
Notation avec une barre en dessous de la partie répétée.
Exemple : $ 37/300 = 0.12\underline{3} $
Notation entre crochets
Exemple : $ 37/300 = 0.12[3] $
NB: Pour plus de clarté, il est préférable d'écrire la fraction sous forme irréductible.
Comment trouver les décimales d'une fraction ?
Effectuer la division du numérateur par le dénominateur. Poser la division euclidienne à la main ou utiliser une calculatrice.
Comment retrouver la fraction à partir des décimales ?
Soit $ x $ le nombre, et $ n $ la taille (le nombre de chiffres) de la partie périodique du développement décimal. Pour obtenir l'écriture fractionnaire, résoudre $ x \times 10^n - x $.
Exemple : $ x = 0.1\overline{6} = 0.1666666\dots $, la portion répétée est $ 6 $, soit un seul chiffre donc $ n=1 $. Calculer $ 10^1 \times x = 1.\overline{6} = 1.6666666\dots $ et résoudre $ 10x−x = 9x = 1.\overline{6}−0.1\overline{6}=1.5 \iff 9x=1.5 \iff x=1.5/9 = 15/90 = 1/6 $
Quels sont les développements décimaux les plus connus ?
Les inverses des nombres premiers fournissent des développements décimaux périodiques longs et intéressants.
Exemple : $ 1/3 = 0.333333\dots $
Exemple : $ 1/7 = 0.142857142857\dots $
Existe-t-il un développement décimal infini comportant une série de chiffres qui ne se répète jamais ?
Tout nombre rationnel (toute fraction) a un développement fini ou un décimal périodique avec nombre fini de chiffres qui se répètent à l'infini.
Mais existe des nombres réels non rationnels (qui ne sont pas des fractions) qui ont des décimales sans répétition
Exemple : $ \pi = 3.14159265\dots $ n'a pas de répétition connue à ce jour.
Exemple : La constante de Champernowne n'aura jamais de répétition, c'est un nombre univers.
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Citer comme source bibliographique :
Fraction Périodique sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 21/11/2024,
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