Outil pour calculer si une fonction est décroissante/monotone ou sur quel intervalle est décroissante ou strictement décroissante.
Fonction Décroissante - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Fonction Décroissante
Calcul de Fonction Décroissante
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'une fonction décroissante ? (Définition)
Une fonction $ f $ est strictement décroissante si pour tout $$ x_1 < x_2 , f(x_1) > f(x_2) $$ (inversion des signes)
Autrement dit, $ f $ a un sens de variation décroissant, lorsque $ x $ augmente, $ f(x) $ diminue (pas forcément de la même quantité).
Une fonction est décroissante (non strictement, au sens large) si pour tout $$ x_1 < x_2 , f(x_1) \geq f(x_2) $$
Exemple : La fonction $ f(x) = -x + 1 $ est décroissante sur tout son ensemble de définition $ \mathbb{R} $, donc elle est monotone.
La décroissance d'une fonction peut être également définie sur un intervalle.
Exemple : La fonction $ f(x) = x^2 $ est strictement décroissante sur $ \mathbb{R}^- $ aussi noté $ x < 0 $ ou encore $ ] -\infty ; 0 [ $
Comment déterminer si une fonction est décroissante ?
Plusieurs méthodes permettent de trouver le sens de variation pour savoir si une fonction est décroissante :
— A partir de sa dérivée : Lorsque la dérivée de la fonction est inférieure à $ 0 $ alors la fonction est décroissante.
Exemple : La dérivée de la fonction $ f(x) = x^2+1 $ est $ f'(x) = 2x $, le calcul de $ f'(x) < 0 $ se simplifie $ x < 0 $ donc la fonction $ f $ est décroissante lorsque $ x < 0 $
— A partir de son équation : Certaines fonctions sont notoirement décroissantes : la fonction inverse, l'opposé des fonctions croissantes, etc.
Exemple : $ \frac{1}{x} $ est décroissante sur $ \mathbb{R}^* $
— A partir de la courbe de la fonction : une fonction décroissante a sa courbe qui se dirige vers le bas.
Comment déterminer si une fonction linéaire/affine est décroissante ?
Une fonction linéaire de la forme $ f(x) = ax + b $ est décroissante sur $ \mathbb{R} $ lorsque le coefficient $ a $ est négatif ($ a < 0 $). Si $ a $ est positif alors la fonction est croissante.
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