Orthonormalisation de Gram-Schmidt

L'algorithme d'orthonormalisation proposé par Gram-Schmidt permet de définir l'existence de bases orthonormées dans un espace et de les construire (à partir d'une base quelconque).

Soit un ensemble de vecteurs $ \vec{v_i} $ et sa base orthonormée, composée des vecteurs $ \vec{e_i} $, correspondante, alors l'algorithme de Gram-Schmidt consiste à calculer les vecteurs orthogonaux $ \vec{u_i} $ qui permettront d'obtenir les vecteurs orthonormaux $ \vec{e_i} $ dont les composantes sont les suivantes (l'opérateur . est le produit scalaire sur l'espace vectoriel)

$$ \vec{u_1} = \vec{v_1} \ , \quad \vec{e_1} = \frac{ \vec{u_1} } { \| \vec{u_1} \| } $$

$$ \vec{u_2} = \vec{v_2} - \frac{ \vec{u_1} . \vec{v_2} }{ \vec{u_1} . \vec{u_1} } \vec{u_1} \ , \quad \vec{e_2} = \frac{ \vec{u_2} } { \| \vec{u_2} \| } $$

$$ \vec{u_3} = \vec{v_3} - \frac{ \vec{u_1} . \vec{v_3} }{ \vec{u_1} . \vec{u_1} } \vec{u_1} - \frac{ \vec{u_2} . \vec{v_3} }{ \vec{u_2} . \vec{u_2} } \vec{u_2} \ , \quad \vec{e_3} = \frac{ \vec{u_3} } { \| \vec{u_3} \| } $$

$$ \vec{u_k} = \vec{v_k} - \sum_{j=1}^{k-1} { \frac{ \vec{u_j} . \vec{v_k} }{ \vec{u_j} . \vec{u_j} } \vec{u_j} } \ , \quad \vec{e_k} = \frac{ \vec{u_k} } { \| \vec{u_k} \| } $$

Travailler avec une base orthonormée présente de nombreux avantages. Tout d'abord, elle permet de simplifier les calculs, car les coordonnées des vecteurs dans cette base sont indépendantes les unes des autres. De plus, elle permet de représenter de manière unique chaque vecteur de l'espace, ce qui peut être utile dans de nombreux contextes.