Outil pour calculer des bases orthonormées du sous-espace engendré par des vecteurs via l'algorithme de Gram-Schmidt (orthonormalisation dans le Plan 2D, Espace 3D ou 4D) en calcul formel
Orthonormalisation de Gram-Schmidt - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Orthonormalisation de Vecteurs 2D du Plan
Orthonormalisation de Vecteurs 3D de l'Espace
Orthonormalisation de Vecteurs 4D
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que l'algorithme de Gram-Schmidt ? (Définition)
L'algorithme d'orthonormalisation proposé par Gram-Schmidt permet de définir l'existence de bases orthonormées dans un espace et de les construire (à partir d'une base quelconque).
Comment calculer une base orthonormée avec Gram-Schmidt ?
Soit un ensemble de vecteurs $ \vec{v_i} $ et sa base orthonormée, composée des vecteurs $ \vec{e_i} $, correspondante, alors l'algorithme de Gram-Schmidt consiste à calculer les vecteurs orthogonaux $ \vec{u_i} $ qui permettront d'obtenir les vecteurs orthonormaux $ \vec{e_i} $ dont les composantes sont les suivantes (l'opérateur . est le produit scalaire sur l'espace vectoriel)
$$ \vec{u_1} = \vec{v_1} \ , \quad \vec{e_1} = \frac{ \vec{u_1} } { \| \vec{u_1} \| } $$
$$ \vec{u_2} = \vec{v_2} - \frac{ \vec{u_1} . \vec{v_2} }{ \vec{u_1} . \vec{u_1} } \vec{u_1} \ , \quad \vec{e_2} = \frac{ \vec{u_2} } { \| \vec{u_2} \| } $$
$$ \vec{u_3} = \vec{v_3} - \frac{ \vec{u_1} . \vec{v_3} }{ \vec{u_1} . \vec{u_1} } \vec{u_1} - \frac{ \vec{u_2} . \vec{v_3} }{ \vec{u_2} . \vec{u_2} } \vec{u_2} \ , \quad \vec{e_3} = \frac{ \vec{u_3} } { \| \vec{u_3} \| } $$
$$ \vec{u_k} = \vec{v_k} - \sum_{j=1}^{k-1} { \frac{ \vec{u_j} . \vec{v_k} }{ \vec{u_j} . \vec{u_j} } \vec{u_j} } \ , \quad \vec{e_k} = \frac{ \vec{u_k} } { \| \vec{u_k} \| } $$
Exemple : Les vecteurs $ \vec{v_1} = (1,2) $ et $ \vec{v_2} = (1,0) $ de $ \mathbb{R}^2 $ (plan 2D) ont pour base orthonormée $ \vec{e_1} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $ et $ \vec{e_2} = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{-1}{\sqrt{5}} \right) $
Pourquoi utiliser Gram-Schmidt ?
Travailler avec une base orthonormée présente de nombreux avantages. Tout d'abord, elle permet de simplifier les calculs, car les coordonnées des vecteurs dans cette base sont indépendantes les unes des autres. De plus, elle permet de représenter de manière unique chaque vecteur de l'espace, ce qui peut être utile dans de nombreux contextes.
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