Période d'une Fonction

La période $t$ d'une fonction périodique $f(x)$ est la plus petite valeur $t$ telle que $$f(x+t) = f(x)$$

Graphiquement, sa courbe se reproduit sur l'intervalle de chaque période. La fonction est égale à elle-même chaque cycle de longueur $t$ (elle présente un motif/graphe qui se répète par translation).

La valeur de la période $t$ est aussi appelée périodicité d'une fonction ou période fondamentale.

Pour trouver la période $t$ d'un signal ou d'une fonction périodique $f(x)$, montrer que $$f(x+t)=f(x)$$

Les fonctions trigonométriques/sinusoidales sont généralement périodiques de période $2\pi$, pour deviner la valeur de $t$, envisager des multiples de pi pour la valeur $t$.

Toute fonction périodique de période $t$ se répète toutes les $t$ valeurs. Pour prédire la valeur du cycle d'une fonction périodique, pour une valeur $x$ calculer $x_t = x \mod t$ (modulo t) et rechercher la valeur connue de $f(x_t) = f(x)$

L'amplitude correspond à la valeur absolue de la partie non périodique de la fonction.

La démonstration de l'existence d'une période $t$ pour une fonction $f$ consiste à calculer si l'équation $f(x+t)=f(x)$ est vraie.

Si $f$ est périodique alors il existe un réel non nul tel que $$f(x+t)=f(x)$$

La démonstration consiste à montrer que c'est impossible. Par exemple via un raisonnement par l'absurde ou en réalisant un calcul qui débouche sur une contradiction.

Les fonctions périodiques les plus courantes sont les fonctions trigonométriques à base de fonctions sinus et cosinus (qui ont une période de 2 Pi).