Outil pour calculer la période d'une fonction : la valeur t telle que la fonction se répète f(x+t)=f(x-t)=f(x), ce qui est le cas des fonctions trigo (cos, sin, etc.).
Période d'une Fonction - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Période d'une Fonction
Calculatrice de Période t
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'une période de fonction ? (Définition)
La période $ t $ d'une fonction périodique $ f(x) $ est la plus petite valeur $ t $ telle que $$ f(x+t) = f(x) $$
Graphiquement, sa courbe se reproduit sur l'intervalle de chaque période. La fonction est égale à elle-même chaque cycle de longueur $ t $ (elle présente un motif/graphe qui se répète par translation).
La valeur de la période $ t $ est aussi appelée périodicité d'une fonction ou période fondamentale.
Comment déterminer la période d'une fonction ?
Pour trouver la période $ t $ d'un signal ou d'une fonction périodique $ f(x) $, montrer que $$ f(x+t)=f(x) $$
Exemple : La fonction trigonométrique $ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) $ donc $ \sin(x) $ est périodique de période $ 2\pi $ 
Les fonctions trigonométriques/sinusoidales sont généralement périodiques de période $ 2\pi $, pour deviner la valeur de $ t $, envisager des multiples de pi pour la valeur $ t $.
Si la période est nulle (égale à $ 0 $), alors la fonction n'est pas périodique.
Comment déterminer la valeur f(x) d'une fonction périodique ?
Toute fonction périodique de période $ t $ se répète toutes les $ t $ valeurs. Pour prédire la valeur du cycle d'une fonction périodique, pour une valeur $ x $ calculer $ x_t = x \mod t $ (modulo t) et rechercher la valeur connue de $ f(x_t) = f(x) $
Exemple : La fonction $ f(x) = \cos(x) $ a une période de $ 2\pi $, la valeur pour $ x = 9 \pi $ est la même que pour $ x \equiv 9 \pi \mod 2 \pi \equiv \pi \mod 2 \pi $ et donc $ \cos(9 \pi) = \cos(\pi) = -1 $
Comment déterminer l'amplitude d'une fonction ?
L'amplitude correspond à la valeur absolue de la partie non périodique de la fonction.
Exemple : $ a \sin(x) $ a pour amplitude $ | a | $
Comment prouver la périodicité d'une fonction ?
La démonstration de l'existence d'une période $ t $ pour une fonction $ f $ consiste à calculer si l'équation $ f(x+t)=f(x) $ est vraie.
Comment prouver qu'une fonction n'est pas périodique ?
Si $ f $ est périodique alors il existe un réel non nul tel que $$ f(x+t)=f(x) $$
La démonstration consiste à montrer que c'est impossible. Par exemple via un raisonnement par l'absurde ou en réalisant un calcul qui débouche sur une contradiction.
Quelles sont les fonctions périodiques usuelles ?
Les fonctions périodiques les plus courantes sont les fonctions trigonométriques à base de fonctions sinus et cosinus (qui ont une période de 2 Pi).
| Période de Sinus $ \sin(x) $ | $ 2\pi $ |
| Période de Cosinus $ \cos(x) $ | $ 2\pi $ |
| Période de Tangente $ \tan(x) $ | $ \pi $ |
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