Fonction de Dawson

La fonction de Dawson, notée $ F $ ou $ D_+ $, également connue sous le nom d'intégrale de Dawson, est une fonction mathématique définie comme $$ F(x)= \exp(-x^2) \int_0^x \exp(y^2)\,\rm{d}y $$

La fonction de Dawson est connue pour être une solution particulière de l'équation différentielle $ y'(x) + 2 x y(x) = 1 $

Le graphe de la fonction de Dawson est :

La formule de la fonction de Dawson utilise une intégration, (d'où le fait que la fonction est aussi comme intégrale de Dawson).

Il est possible d'évaluer la fonction à l'aide d'un développement en série entière.

Développement limité en $ 0 $ : $$ F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-2)^{n}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n+1)} \, x^{2n+1} \\ = x - \frac{2}{3} x^3 + \frac{4}{15} x^{5} - \dots + O(x^{2n+1}) $$

Développement limité en $ +\infty $ : $$ F(x) = \frac{1}{2x} + \frac{1}{4x^3} + \frac{3}{8x^5} + \cdots + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2^{n+1} x^{2n+1}} + O(x^{-2n-1}) $$

La notation $ D_{+}(x) $ pour la fonction de Dawson permet de la différentier, de la fonction de Dawson symmétrique $$ D_{-}(x) = \exp(x^2) \int_0^x \exp(-y^2)\,\rm{d}y $$

La fonction de Dawson partage une formule avec les fonctions d'erreur erf ou erfi $$ F(x)= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \exp(-x^2) \operatorname{erfi}(x) = -i \frac{\sqrt{\pi}}{2} \exp(-x^2) \operatorname{erf}(ix) $$

La fonction de Dawson est paire, donc symétrique, $ F(x) = -F(-x) $.

— $ F(0) = 0 $

— $ \lim_{x\to+\infty} F(x) = 0^+ $

— $ \lim_{x\to-\infty} F(x) = 0^- $