Outil pour appliquer la formule quadratique à tout polynome de degré 2 (ax^2+bx+c) à partir de l'expression du trinome ou des valeurs de a, b et c.
Formule Quadratique - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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Formule Quadratique
Calcul de Formule Quadratique
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que la formule quadratique ? (Définition)
La formule quadratique est le nom donné à une expression mathématique permettant de trouver les solutions d'une équation du second degré (présenté sous la forme d'un polynome de degré 2 égal à 0). C'est la méthode la plus facile et donc la plus souvent enseignée.
Pour tout polynome $ P $ d'ordre 2, de variable $ x $ noté $$ P(x) = ax^2+bx+c $$ les solutions de $ P(x) = 0 $ sont données par la formule quadratique $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
La formule fait intervenir le symbole $ \pm $ (plus ou moins) ce qui signifie que $ x $ peut prendre 2 valeurs, la première calculée avec le signe $ + $ (plus), la seconde avec le signe $ - $ (moins).
Comment appliquer la formule quadratique ?
A partir d'un polynome de degré 2, de variable $ x $ :
— Développer et réduire l'expression du polynome si besoin
— Noter $ a $ le coefficient associé à $ x^2 $
— Noter $ b $ le coefficient associé à $ x $
— Noter $ c $ la constante restante
— Calculer les solutions $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Exemple : $ 5x^2+3(x+1)-4 $ se développe en $ 5x^2+3x-1 $, les valeurs des coefficients sont $ a = 5, b = 3, c = -1 $, les solutions sont $ x_1 = \frac{-3+\sqrt{29}}{10} $ et $ x_2 = \frac{-3-\sqrt{29}}{10} $
Si $ b^2 - 4ac = 0 $ alors il n'y a qu'une seule solution.
Quelle est la démonstration de la formule quadratique ?
D'après l'équation initiale $$ ax^2+bx+c = 0 $$
— Diviser par $ a $ : $$ x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0 $$
— Soustraire $ \frac{c}{a} $ : $$ x^2 + \frac{b}{a} x = -\frac{c}{a} $$
— Appliquer la complétion du carré, c'est-à-dire ajouter $ \left( \frac{b}{2a} \right)^2 $ pour obtenir $$ x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 $$
— Simplifier en $$ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} $$
— Mettre les fractions de droite sur leur dénominateur commun $ 4a^2 $ : $$ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} $$
— Calculer la racine carré : $$ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
— Isoler $ x $ pour obtenir la formule finale : $$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
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