Formule Quadratique

La formule quadratique est le nom donné à une expression mathématique permettant de trouver les solutions d'une équation du second degré (présenté sous la forme d'un polynome de degré 2 égal à 0). C'est la méthode la plus facile et donc la plus souvent enseignée.

Pour tout polynome $ P $ d'ordre 2, de variable $ x $ noté $$ P(x) = ax^2+bx+c $$ les solutions de $ P(x) = 0 $ sont données par la formule quadratique $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

A partir d'un polynome de degré 2, de variable $ x $ :

— Développer et réduire l'expression du polynome si besoin

— Noter $ a $ le coefficient associé à $ x^2 $

— Noter $ b $ le coefficient associé à $ x $

— Noter $ c $ la constante restante

— Calculer les solutions $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

D'après l'équation initiale $$ ax^2+bx+c = 0 $$

— Diviser par $ a $ : $$ x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0 $$

— Soustraire $ \frac{c}{a} $ : $$ x^2 + \frac{b}{a} x = -\frac{c}{a} $$

— Appliquer la complétion du carré, c'est-à-dire ajouter $ \left( \frac{b}{2a} \right)^2 $ pour obtenir $$ x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 $$

— Simplifier en $$ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} $$

— Mettre les fractions de droite sur leur dénominateur commun $ 4a^2 $ : $$ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} $$

— Calculer la racine carré : $$ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

— Isoler $ x $ pour obtenir la formule finale : $$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$