Outil pour retrouver une équation de courbe. L'interpolation par polynômes de Lagrange est une méthode d'approximation polynomiale qui permet d'obtenir l'équation d'une courbe en connaissant des points de celle-ci.
Interpolation de Lagrange - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Interpolation de Lagrange
Interpolation de Polynome par Lagrange
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que l'interpolation de Lagrange ? (Définition)
L'interpolation Lagrangienne (dite de Lagrange/Rechner) est une méthode qui permet de trouver l'équation d'une fonction polynomiale qui passe par une série de $ n $ points donnés $ \{ (x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots, (x_n,y_n) \} $.
Le polynome de Lagrange se calcule par la formule $$ P(X) = \sum_{j=0}^n y_j \left(\prod_{i=0,i\neq j}^n \frac{X-x_i}{x_j-x_i} \right) $$
Comment retrouver l'équation d'une courbe avec Lagrange ?
A partir des points dont les coordonnées sont connues, la méthode d'interpolation de Lagrange peut ainsi prédire d'autres points en se basant sur l'hypothèse que la courbe formée par ces points est issue d'une équation de type polynomiale.
Exemple : En connaissant les points $ (x,y) $ : $ (0,0),(2,4),(4,16) $ la méthode Lagrangienne d'Interpolation de polynômes permet de retrouver l'équation $ y = x^2 $.
Détails du calcul pas à pas : $$ P(x) = 0 \times \frac{(x-2)}{(0-2)} \frac{(x-4)}{(0-4)} + 4 \times \frac{(x-0)}{(2-0)} \frac{(x-4)}{(2-4)} + 16 \times \frac{(x-0)}{(4-0)} \frac{(x-2)}{(4-2)} \\ = 4 \times \frac{x}{2}\frac{(x-4)}{(-2)} + 16 \times \frac{x}{4}\frac{(x-2)}{2} \\ = -x(x-4)+2x(x-2) \\ = -x^2+4x+2x^2-4x \\ = x^2
$$ Ainsi déduite, la fonction interpolatrice $ f(x) = x^2 $ permet d'estimer les valeurs pour $ x = 3 $, ici $ f(x) = 9 $.
La méthode d'Interpolation de Lagrange permet une bonne approximation des fonctions de type polynomiales.
Il existe d'autres méthodes d'interpolation de celle de Lagrange/Rechner telles que l'interpolation de Neville également disponible sur dCode.
Quelles sont les limites de l'Interpolation par Lagrange ?
La complexité des calculs augmentant avec le nombre de points, le programme est automatiquement limité (avec des ordonnées distinctes dans l'ensemble de nombres rationnels Q).
Comment calculer/anticiper une valeur supplémentaire ?
A partir d'une liste de nombre, l'interpolation de Lagrange permet de trouver une équation pour $ f(x) $. En utilisant cette équation avec une nouvelle valeur de $ x $, il est possible de calculer l'image de $ x $ par $ f $ par extrapolation.
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