Maximum d'une Fonction

Un maximum de fonction est le point où la fonction atteint sa plus grande valeur. Formellement, pour toute fonction $ f(x) $ définie sur un intervalle $ I $, en prenant $ m $ un réel de cet intervalle, si $ f(x) <= f(m) $ sur la totalité de l'intervalle $ I $ alors $ f $ atteint son maximum en $ x = m $ sur $ I $. Trouver le maximum d'une fonction c'est donc calculer $ f(m) $.

Les maximums d'une fonction se détectent lorsque la dérivée s'annule et change de signe (passant par 0 du coté positif au coté négatif).

Ajouter une ou plusieurs contraintes indiquant les conditions pour chaque variable.

Un maximum local est le point le plus élevé dans un voisinage/intervalle, tandis qu'un maximum global est le point le plus élevé sur l'ensemble du domaine de la fonction.

Un extremum est le nom donné à une valeur extrême d'une fonction, valeur qui peut être maximale (maximum d'une fonction) ou minimale (minimum d'une fonction).

Le majorant est toute valeur supérieure ou égale à la valeur maximum atteinte par la fonction.

Une fonction constante $ f (x) = c $ est une droite, et vaut toujours $ c $, donc son maximum est $ c $, atteint pour toute valeur de $ x $

Une fonction affine $ f (x) = ax + b $ est une droite qui a toujours pour maximum $ +\infty $

— Si $ a < 0 $, le maximum de $ f $ est $ +\infty $ quand $ x $ tend vers $ -\infty $

— Si $ a > 0 $, le maximum de $ f $ est $ +\infty $ quand $ x $ tend vers $ +\infty $

Pour une fonction polynome du second degré $ f(x) = ax^2 + bx + c $ alors

— Si $ a < 0 $, le maximum de $ f $ est $ (-b^2 + 4 a c)/(4 a) $ atteint en $ x = -\frac{b}{2a} $

— Si $ a > 0 $, le maximum de $ f $ est $ +\infty $ atteint quand $ x $ tend vers $ +\infty $