Outil pour déterminer la valeur maximum d'une fonction : la valeur maximale que peut prendre la fonction. Il s'agit d'un maximum global et non d'un maximum local.
Maximum d'une Fonction - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Maximum d'une Fonction
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un maximum de fonction ? (Définition)
Un maximum de fonction est le point où la fonction atteint sa plus grande valeur. Formellement, pour toute fonction $ f(x) $ définie sur un intervalle $ I $, en prenant $ m $ un réel de cet intervalle, si $ f(x) <= f(m) $ sur la totalité de l'intervalle $ I $ alors $ f $ atteint son maximum en $ x = m $ sur $ I $. Trouver le maximum d'une fonction c'est donc calculer $ f(m) $.
Exemple : Maximiser $ f(x) = -x^2 $, définie sur $ \mathbb{R} $, la fonction atteint son maximum en $ x = 0 $, $ f(x=0) = 0 $ et $ f(x) <= 0 $ sur $ \mathbb{R} $
Le maximum d'une fonction est systématiquement défini sur un intervalle, il peut être local (entre 2 bornes), ou global : sur le domaine de définition de la fonction.
Comment calculer le maximum d'une fonction ?
Les maximums d'une fonction se détectent lorsque la dérivée s'annule et change de signe (passant par 0 du coté positif au coté négatif).
Exemple : Déterminer le maximum de la fonction $ f(x) = -x^2 + 1 $. La fonction se dérive en $ f'(x) = -2x $ qui s'annule en $ x = 0 $ car $ f'(x) = 0 \iff -2x = 0 \iff x = 0 $. Un extremum se trouve donc en 0, sa valeur est $ f(0) = 1 $. Les calculs de limites $$ \lim_{x\to0^-}{f'(x) = 0^+} \\ \lim_{x\to0^+}{f'(x) = 0^-} $$ montrent que la dérivée change de signe de positif $ 0^+ $ à négatif $ 0^- $. L'extremum global de la fonction est donc $ 1 $ pour $ x = 0 $.
dCode a aussi des outils pour calculer les minimums de fonctions.
Comment calculer le maximum local sur un intervalle ?
Ajouter une ou plusieurs contraintes indiquant les conditions pour chaque variable.
Exemple : Trouver le maximum de $ \cos{x} $ pour $ -\pi < x < \pi $
Indiquer à dCode plusieurs équations avec l'opérateur && (ET logique) pour séparer les équations
Quelle est la différence entre un maximum local et un maximum global ?
Un maximum local est le point le plus élevé dans un voisinage/intervalle, tandis qu'un maximum global est le point le plus élevé sur l'ensemble du domaine de la fonction.
Qu'est-ce qu'un extremum ?
Un extremum est le nom donné à une valeur extrême d'une fonction, valeur qui peut être maximale (maximum d'une fonction) ou minimale (minimum d'une fonction).
Qu'est ce qu'un majorant d'une fonction ?
Le majorant est toute valeur supérieure ou égale à la valeur maximum atteinte par la fonction.
Quel est le maximum d'une fonction constante ?
Une fonction constante $ f (x) = c $ est une droite, et vaut toujours $ c $, donc son maximum est $ c $, atteint pour toute valeur de $ x $
Quel est le maximum d'une fonction affine ?
Une fonction affine $ f (x) = ax + b $ est une droite qui a toujours pour maximum $ +\infty $
— Si $ a < 0 $, le maximum de $ f $ est $ +\infty $ quand $ x $ tend vers $ -\infty $
— Si $ a > 0 $, le maximum de $ f $ est $ +\infty $ quand $ x $ tend vers $ +\infty $
Quel est le maximum d'une fonction polynomiale du 2nd degré ?
Pour une fonction polynome du second degré $ f(x) = ax^2 + bx + c $ alors
— Si $ a < 0 $, le maximum de $ f $ est $ (-b^2 + 4 a c)/(4 a) $ atteint en $ x = -\frac{b}{2a} $
— Si $ a > 0 $, le maximum de $ f $ est $ +\infty $ atteint quand $ x $ tend vers $ +\infty $
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Citer comme source bibliographique :
Maximum d'une Fonction sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 21/05/2024,
- Calculatrice de Maximum
- Calculatrice de Minimum
- Qu'est-ce qu'un maximum de fonction ? (Définition)
- Comment calculer le maximum d'une fonction ?
- Comment calculer le maximum local sur un intervalle ?
- Quelle est la différence entre un maximum local et un maximum global ?
- Qu'est-ce qu'un extremum ?
- Qu'est ce qu'un majorant d'une fonction ?
- Quel est le maximum d'une fonction constante ?
- Quel est le maximum d'une fonction affine ?
- Quel est le maximum d'une fonction polynomiale du 2nd degré ?
