Systèmes de Coordonnées 3D

Un système de coordonnées 3D est un cadre mathématique permettant de décrire la position des points dans un espace tridimensionnel.

Les principaux types de systèmes de coordonnées 3D sont :

— Système de coordonnées cartésiennes : Utilise les axes $ x $, $ y $ et $ z $ pour spécifier la position d'un point, chaque coordonnée représente la distance perpendiculaire du point par rapport au plan formé par les deux autres axes.

— Système de coordonnées cylindriques : Utilise une coordonnée radiale $ r $, une coordonnée angulaire $ \theta $, et une hauteur $ z $. La position est déterminée par la distance $ r $ depuis un axe central (généralement l'axe $ z $), l'angle $ \theta $ autour de cet axe, et la hauteur $ z $ le long de l'axe central.

— Système de coordonnées sphériques : Utilise une distance radiale $ \rho $, un angle d'azimut $ \theta $ et un angle de colatitude $ \varphi $. La position est déterminée par $ \rho $ la distance du point à l'origine, $ \theta $ est l'angle dans le plan $ xy $ depuis l'axe $ x $, et $ \varphi $ est l'angle par rapport à l'axe $ z $.

A partir de coordonnées cartésiennes $ (x, y, z) $, le changement de base/référentiel vers des coordonnées sphériques $ (\rho,\theta,\varphi) $ suit les équations : $$ \rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta = \arccos \left( \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right) = \arccos \left( \frac{z}{\rho} \right) \\ \varphi = \arctan \left( \frac{y}{x} \right) $$

La conversion peut être vue comme deux conversions de coordonnées 2D cartésiennes vers polaires consécutives, d'abord une dans le plan $ xy $ pour convertir $ (x, y) $ en $ (R, \varphi) $ (avec $ R $ la projection de $ \rho $ sur le plan $ xy $, puis une seconde conversion dans le plan $ zR $ pour changer $ (z, R) $ en $ (\rho, \theta) $

NB : par convention, la valeur de $ \rho $ est positive, la valeur de $ \theta $ est comprise dans l'invervalle $ ] 0, \pi [ $ et la valeur de $ \varphi $ est comprise dans l'invervalle $ ] -\pi, \pi [ $

A partir de coordonnées cartésiennes $ (x, y, z) $ le changement de base/référentiel vers des coordonnées cylindriques $ (r, \theta, z) $ suit les équations : $$ r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \theta = \arctan \left( \frac {y}{x} \right) \\ z = z $$

NB : par convention, la valeur de $ \rho $ est positive, la valeur de $ \theta $ est comprise dans l'invervalle $ ] -\pi, \pi [ $ et $ \varphi $ est un nombre réel

A partir de coordonnées sphériques $ (\rho,\theta,\varphi) $ le changement de base/référentiel vers des coordonnées cartésiennes $ (x, y, z) $ suit les équations : $$ x = \rho \sin\theta \cos\varphi \\ y = \rho \sin\theta \sin\varphi \\ z = \rho \cos\theta $$

A partir de coordonnées sphériques $ (\rho,\theta,\varphi) $ le changement de base/référentiel vers des coordonnées cylindriques $ (r,\theta^*,z) $ suit les équations : $$ r = \rho \sin \theta \\ \theta^* = \varphi \\ z = \rho \cos \theta $$

A partir de coordonnées cylindriques $ (r,\theta,z) $ le changement de base/référentiel vers des coordonnées cartésiennes $ (x,y,z) $ suit les équations : $$ x = r \cos\theta \\ y = r \sin\theta \\ z = z $$

A partir de coordonnées cylindriques $ (r,\theta^*,z) $ le changement de base/référentiel vers des coordonnées sphériques $ (\rho,\theta,\varphi) $ suit les équations : $$ \rho = \sqrt{r^2 + z^2} \\ \theta = \arctan \left( \frac{r}{z} \right) = \arccos \left( \frac{z}{\sqrt{r^2 + z^2}} \right) \\ \varphi = \theta^* $$