Outil pour réaliser des changements de système de coordonnées dans l'espace 3D (cartésiennes, sphériques, cylindriques, etc.), des opérations géométriques pour représenter des éléments dans différents référentiels.
Systèmes de Coordonnées 3D - dCode
Catégorie(s) : Géométrie
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Un système de coordonnées 3D est un cadre mathématique permettant de décrire la position des points dans un espace tridimensionnel.
Les principaux types de systèmes de coordonnées 3D sont :
— Système de coordonnées cartésiennes : Utilise les axes x, y et z pour spécifier la position d'un point, chaque coordonnée représente la distance perpendiculaire du point par rapport au plan formé par les deux autres axes.
— Système de coordonnées cylindriques : Utilise une coordonnée radiale r, une coordonnée angulaire θ, et une hauteur z. La position est déterminée par la distance r depuis un axe central (généralement l'axe z), l'angle θ autour de cet axe, et la hauteur z le long de l'axe central.
— Système de coordonnées sphériques : Utilise une distance radiale ρ, un angle d'azimut θ et un angle de colatitude φ. La position est déterminée par ρ la distance du point à l'origine, θ est l'angle dans le plan xy depuis l'axe x, et φ est l'angle par rapport à l'axe z.
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A partir de coordonnées cartésiennes (x,y,z), le changement de base/référentiel vers des coordonnées sphériques (ρ,θ,φ) suit les équations : ρ=√x2+y2+z2θ=arccos(z√x2+y2+z2)=arccos(zρ)φ=arctan(yx)
Exemple : Le point de l'espace en position (0,√2,√2) en coordonnées cartésiennes est défini par les coordonnées sphériques ρ=1, θ=π/4 et φ=π/2
La conversion peut être vue comme deux conversions de coordonnées 2D cartésiennes vers polaires consécutives, d'abord une dans le plan xy pour convertir (x,y) en (R,φ) (avec R la projection de ρ sur le plan xy, puis une seconde conversion dans le plan zR pour changer (z,R) en (ρ,θ)
NB : par convention, la valeur de ρ est positive, la valeur de θ est comprise dans l'invervalle ]0,π[ et la valeur de φ est comprise dans l'invervalle ]−π,π[
Si ρ=0 alors les angles peuvent être définis par n'importe quels nombres réels de l'intervalle
A partir de coordonnées cartésiennes (x,y,z) le changement de base/référentiel vers des coordonnées cylindriques (r,θ,z) suit les équations : r=√x2+y2θ=arctan(yx)z=z
NB : par convention, la valeur de ρ est positive, la valeur de θ est comprise dans l'invervalle ]−π,π[ et φ est un nombre réel
A partir de coordonnées sphériques (ρ,θ,φ) le changement de base/référentiel vers des coordonnées cartésiennes (x,y,z) suit les équations : x=ρsinθcosφy=ρsinθsinφz=ρcosθ
A partir de coordonnées sphériques (ρ,θ,φ) le changement de base/référentiel vers des coordonnées cylindriques (r,θ∗,z) suit les équations : r=ρsinθθ∗=φz=ρcosθ
A partir de coordonnées cylindriques (r,θ,z) le changement de base/référentiel vers des coordonnées cartésiennes (x,y,z) suit les équations : x=rcosθy=rsinθz=z
A partir de coordonnées cylindriques (r,θ∗,z) le changement de base/référentiel vers des coordonnées sphériques (ρ,θ,φ) suit les équations : ρ=√r2+z2θ=arctan(rz)=arccos(z√r2+z2)φ=θ∗
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Citer comme source bibliographique :
Systèmes de Coordonnées 3D sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 03/04/2025,