Inconnues dans le Triangle

Un triangle peut être défini par ses 3 longueurs de cotés ou ses 3 angles/sommets, son aire, son périmétre ou un mélange de ces valeurs. Ces valeurs sont très dépendantes entre elles, donc si certaines sont inconnues, les inconnues du triangle peuvent donc être calculés à partir des valeurs connues.

En considérant que les trois côtés du triangle quelconque $ a $, $ b $ et $ c $ sont connus.

Les formules de calcul pour les 3 angles (valeurs inconnues), l'aire et le périmètre sont :

$$ \alpha = \arccos\left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right) $$

$$ \beta = \arccos\left( \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \right) $$

$$ \gamma = \arccos\left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) $$

$$ \mathcal{A} = \frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)} $$

$$ \mathcal{P} = a+b+c $$

En considérant que l'angle $ \gamma $ et ses cotés adjacents $ a $ et $ b $ sont connus.

Les formules de calcul pour les 2 autres angles, le coté opposé, l'aire et le périmètre sont :

$$ c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma} $$

$$ \alpha = \frac\pi2 - \frac\gamma2 + \arctan\left(\frac{a-b}{(a+b)\tan\frac\gamma2}\right) $$

$$ \beta = \frac\pi2 - \frac\gamma2 - \arctan\left(\frac{a-b}{(a+b)\tan\frac\gamma2}\right) $$

$$ \mathcal{A} = \frac12 ab\sin\gamma $$

$$ \mathcal{P} = a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma} $$

En considérant que l'angle $ \beta $, le coté adjacent $ c $ et le coté opposé $ b $ sont connus.

Si $ \beta $ est aigu et que $ b < c $ alors les formules de calcul pour les 2 autres angles, le dernier coté adjacent, l'aire et le périmètre sont :

$$ a = c\cos\beta-\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta} $$

$$ \gamma = \pi-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right) $$

$$ \alpha = -\beta + \arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right) $$

$$ \mathcal{A} = \frac 12 c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}-c\cos\beta\right)\sin\beta $$

$$ \mathcal{P} = c\cos\beta-\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+b+c $$

Si $ \beta $ n'est pas aigu ou que $ b >= c $ alors les formules de calcul pour les 2 autres angles, le dernier coté adjacent, l'aire et le périmètre sont :

$$ a = \sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta $$

$$ \alpha = \pi-\beta-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right) $$

$$ \gamma = \arcsin \left(\frac{c\sin\beta}b\right) $$

$$ \mathcal{A} = \frac 12c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta\right)\sin\beta $$

$$ \mathcal{P} = \sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta+b+c $$

En considérant que les angles $ \alpha $ et $ \beta $ et leur coté commun $ c $ sont connus.

Les formules de calcul pour les 2 autres côtés, le dernier angle, l'aire et le périmètre sont :

$$ a = \frac {c\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)} $$

$$ b = \frac {c\sin\beta}{ \sin(\alpha+\beta)} $$

$$ \gamma = \pi-\alpha-\beta\ $$

$$ \mathcal{A} = \frac12 c^2 \, \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} $$

$$ \mathcal{P} = \frac {c ( \sin\alpha + \sin\beta )}{ \sin(\alpha+\beta)} + c $$

En considérant que les angles $ \alpha $ et $ \beta $ et un de leur coté non commun $ a $ sont connus.

Les formules de calcul pour les 2 autres côtés, le dernier angle, l'aire et le périmètre sont :

$$ b = \frac{a\sin\beta}{\sin\alpha} $$

$$ c = \frac{a\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha} $$

$$ \gamma = \pi-\alpha-\beta $$

$$ \mathcal{A} = \frac12 a^2 \, \frac{\sin(\alpha+\beta)\sin\beta}{\sin\alpha} $$

$$ \mathcal{P} = a + \frac{a(\sin\beta+\sin(\alpha+\beta))}{\sin\alpha} $$

En considérant que l'aire $ \mathcal{A} $, l'angle $ \gamma $ et le coté adjacent $ a $ sont connus.

Les formules de calcul pour les 2 autres côtés, les 2 autres angles et le périmètre sont :

$$ b = \frac{2\mathcal{A}}{a\sin\gamma} $$

$$ c = \frac{1}{a} \sqrt{a^2-\frac{4 \mathcal{A}}{\tan{\gamma}}+\frac{4 \mathcal{A}^2}{a^2\sin{\gamma}^2}} $$

$$ \alpha = \frac{1}{2} \left(\pi -\gamma +2 \arctan{\frac{a-\frac{2 \mathcal{A}}{a \sin\gamma}}{\left(a+\frac{2 \mathcal{A}}{a\sin\gamma}\right)\tan{\frac{\gamma}{2}}}}\right) $$

$$ \beta = \frac{1}{2} \left(\pi -\gamma -2 \arctan{\frac{a-\frac{2 \mathcal{A}}{a \sin\gamma}}{\left(a+\frac{2 \mathcal{A}}{a\sin\gamma}\right)\tan{\frac{\gamma}{2}}}}\right) $$

$$ \mathcal{P} = \frac{1}{a} \left( a^2 + \frac{2\mathcal{A}}{\sin\gamma} + \sqrt{a^2-\frac{4 \mathcal{A}}{\tan{\gamma}}+\frac{4 \mathcal{A}^2}{a^2\sin\gamma^2}} \right) $$

En considérant que l'aire $ \mathcal{A} $, l'angle $ \alpha $ et le coté opposé $ a $ sont connus.

Les formules de calcul pour les 2 autres côtés, les 2 autres angles et le périmètre sont :

$$ b = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}+a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}} $$

$$ c = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}-a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}} $$

$$ \beta = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}\mathcal{A}}{a\sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}-a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}}}\right) $$

$$ \gamma = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}\mathcal{A}}{a\sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}+a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}}}\right) $$

$$ \mathcal{P} = a+\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}+a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}} +\sqrt{a^2+\frac{4\mathcal{A}}{\tan\alpha}-a\sqrt{a^2-\frac{16\mathcal{A}^2}{a^2}+\frac{8\mathcal{A}}{\tan\alpha}}} \right) $$

En considérant que l'aire $ \mathcal{A} $ et les cotés $ b $ et $ c $ sont connus.

Les formules de calcul pour le dernier côté, les 3 angles et le périmètre sont :

$$ a = \sqrt{b^2+c^2+2 \sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}^2}} $$

$$ \alpha = \arccos\left(-\frac{\sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}^2}}{b c}\right) $$

$$ \beta = \arccos\left(\frac{2 c^2+2 \sqrt{2+b^2 c^2-4 \mathcal{A}}}{2 c \sqrt{b^2+c^2+2 \sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}^2}}}\right) $$

$$ \gamma = \arccos\left(\frac{2 b^2+2 \sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}}}{2 b \sqrt{b^2+c^2+2 \sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}^2}}}\right) $$

$$ \mathcal{P} = \sqrt{b^2+c^2+2 \sqrt{b^2 c^2-4 \mathcal{A}^2}} + b + c $$

En considérant que le triangle est isocèle en $ A $.

Les 2 cotés formant l'angle $ \alpha $ sont égaux $$ b = c $$

Les 2 angles adjacents au troisième coté $ a $ sont égaux $$ \beta = \gamma $$

En considérant que le triangle est rectangle en $ C $.

L'angle $ \gamma $ est droit $$ \gamma = 90° = \frac\pi2 $$

La somme des 2 autres angles fait 90° $$ \alpha + \beta = 90° = \frac\pi2 $$

Le théorème de Pythagore s'applique $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

L'aire du triangle se simplifie par $$ \mathcal{A} = \frac{ab}{2} $$

En considérant que le triangle est équilatéral, prendre en compte ces équations :

Les 3 cotés sont égaux $$ a = b = c $$

Les 3 angles sont égaux à 60° $$ \alpha = \beta = \gamma = 60° = \frac\pi3 $$

Le périmètre du triangle se simplifie par $$ \mathcal{P} = 3a = 3b = 3c $$