Flocon de Koch

Le flocon de Koch est une courbe fractale obtenue en partant d'un triangle équilatéral et en ajoutant récursivement des triangles équilatéraux au centre de chaque côté du triangle initial.

Le dessin obtenu ressemble à un flocon de neige (snowflake) et présente une auto-similarité à différentes échelles. Il a été décrit pour la première fois par le mathématicien suédois Helge von Koch en 1904.

Pour dessiner le flocon de Koch, suivre ces étapes/cet algorithme :

1 - Dessiner un triangle équilatéral (composé de 3 segments égaux)

2 - Diviser chaque segment en trois sous-segments égaux

3 - Construire un triangle équilatéral ayant pour base, le sous-segment central et pointant vers l'extérieur.

4 - Supprimer le sous-segment central

5 - Recommencer les étapes 2 à 4 pour chacun des segments de la nouvelle figure obtenue

Le périmètre du flocon de Koch augmente à chaque itération. Pour un triangle initial de côté de longueur $ L $, la formule générale pour le périmètre après $ n $ itérations est : $$ 3 L \left( \frac{4}{3} \right)^n $$

En effet, le triangle initial a un son périmètre initial de $ 3L $. A chaque itération, tout segment composé de 3 sous-segments, est remplacé par une ligne brisée de 4 segments (tous de taille identique). Le nombre de segments est donc multiplié par $ 4/3 $ à chaque étape.

Lorsque $ n $ tend vers l'infini, alors $$ \lim\limits_{n \to +\infty} 3 L \left( \frac{4}{3} \right)^n = +\infty $$

La longueur totale de la courbe fractale est donc théoriquement infinie.

Avec un triangle initial de côté de longueur $ L $, la formule pour l'aire totale du flocon après $ n $ itérations est :

$$ A_n = \frac{\sqrt{3}}{20} L^2 \left( 8-3 \left( \frac{4}{9} \right) ^n \right) $$

Lorsque $ n $ tend vers l'infini, l'aire du flocon converge vers une valeur finie :

$$ A = \lim\limits_{n \to +\infty} A_n = \frac{ 2 \sqrt{3} }{5} L^2 $$

Cet aire vaut exactement $ 8/5 $ de l'aire du triangle de départ (qui était de $ \frac{\sqrt{3}}{4} L^2 $)

La dimension fractale du flocon de Koch, notée $ D $, est calculée à l'aide de la formule de dimension fractale : $$ D = \frac{ \ln(3) } { \ln(4) } \approx 1.2619 $$

Le flocon de Koch peut être vu comme un attracteur fractal.

Le nombre de segments composant le flocon après $ n $ itérations est donné par la formule : $$ 3 \times 4^n $$

Chaque segment diminue en taille à chaque itération selon la formule $ L_{n} = \frac{L}{3^n} $

Il est impossible de construire un flocon de Koch dans le monde réel de manière parfaite car cela nécessiterait un nombre infini de subdivisions.

Toutefois, il est possible d'approcher la courbe finale avec un grand nombre d'itérations, rendant le résultat visuellement très proche du flocon théorique.